Информационная коррекция погрешностей измерений. Математическая модель случайной погрешности Математическая модель погрешности мостовой измерительной схемы

Требования к моделям, описывающим погрешности измерений

Модели погрешностей измерений

Требования:

1.должна отражать существенные метрологические свойства средства измерения или методики выполнения измерения,

2.обеспечивать решение практических задач, в которых используются результаты измерений;

3. количественную оценку погрешности;

5.корректировать показания средства измерения и вносить поправки в результаты измерений для уменьшений погрешностей;

6.определять вероятность безотказной работы средства измерения в течение определенного интервала времени;

7. должна учитывать производственные и эксплуатационные допуски на значения метрологических характеристик.

Чем более жесткие требования предъявляются к модели, тем детальнее должны быть сделаны выводы по результатам измерений, тем сложнее должна быть структура модели погрешности.

Вид математической модели погрешностей выбирают на основании:

Теоретического или экспериментального исследования методов и средств измерений;

Анализа статистических данных о влияющих на результаты величинах, c учетом условий измерений.

При решении практических метрологических задач можно использовать одну и ту же модель как для описания и оценки результатов измерений, так и их погрешностей.

Наиболее часто используемые модели, описывающие погрешности:

Погрешность измерения является функцией времени . При монотонном изменении погрешности наиболее простым описанием характера ее изменения является аппроксимация погрешности монотонной функцией времени

Где - монотонная неслучайная функция времени;

Z – случайная величина.

Если данная модель используется для оценки погрешностей однотипных средств измерения, то

случайная составляющая позволяет учесть различие погрешностей для каждого отдельного средства измерения, и разброс погрешностей под влиянием различных условий.

Если модель используется для описания погрешностей одного и того же средства измерения, случайная составляющая позволяет учитывать, что погрешности принимают различные значения при различных сочетаниях влияющих факторов.

Наиболее удобными монотонными случайными функциями, которые позволяют описывать погрешности, являются

ЛИНЕЙНЫЕ!!!

Линейно- равномерные;

И линейно-веерные функции (рис.30).

Линейно- равномерные функции вида включают случайную часть , т.е. отдельные реализации величины а и монотонную неслучайную составляющую .

В линейно- веерных функцияхвеличина а является неслучайной, а слагаемое представляет собой отдельную реализацию случайной составляющей.

Обобщенной моделью погрешности в виде линейной функции может быть выражение , в котором А – начальное значение погрешности; В – скорость изменения погрешности.

Составляющие модели являются случайными обычно взаимно некоррелированными величинами.

НЕЛИНЕЙНЫЕ!!!

Также монотонными элементарными случайными функциями являются нелинейные веерные случайные функции времени (рис.31), например, экспоненциальные или степенные функции. На рис.31,а приведена модель погрешности, учитывающая уменьшение скорости изменения погрешности с течением времени и ее постепенное приближение к некоторому практически неизменному значению. На рис.31,b приведена модель, используемая в том случае, когда скорость изменения погрешности увеличивается и стремится к некоторому стационарному значению.

Такие модели могут быть использованы, например, когда погрешность вызывается двумя противоположно влияющими факторами, при этом один из них действует ограниченное время. Даже при неизменной скорости изменения погрешности для однотипных приборов в силу различия динамических технологических, физико-механических свойств (интенсивности износа, старения, изменения внешних факторов) модель представляется ансамблем реализаций.

В приведенных моделях аргументом может быть не только время, но и другие параметры, изменяющиеся монотонно.

Монотонная составляющая в модели погрешности может учитывать:

Изменение параметров источника питания, питающего измерительную схему прибора;

Старение элементов измерительной схемы;

Монотонно изменяющиеся во времени внешние влияющие факторы;

Постепенный износ элементов средства измерения и т.д.

Математические модели

Построенные выше физические модели крайне важно описать с помощью символов в виде математических формул и уравнений. Эти символы – параметры объектов (они же обозначают физические величины) – связаны между собой в виде выше сформулированных физических законов.

Совокупность формул и уравнений, устанавливающих связь между этими параметрами (физическими величинами) на базе законов физики и полученных в рамках выбранных физических моделœей, будем называть математической моделью объекта или процесса.

Следовательно, о физических величинах можно говорить как о параметрах, характеризующих и качественно, и количественно построенные физические модели.

Процесс создания математической модели можно также разделить на 3 этапа:

Этап 1. Составление формул и уравнений, описывающих состояние, движение и взаимодействия объектов в рамках выбранных физических моделœей.

Этап 2. Решение и исследование сугубо математических задач сформулированных на первом этапе. Основным вопросом здесь является решение так называемой прямой задачи, ᴛ.ᴇ. получение теоретических следствий и численных данных. На этом этапе важную роль играет математический аппарат и вычислительная техника (компьютер).

Этап 3. Выяснение того, согласуются ли результаты анализа и вычислений с результатами измерений в пределах точности последних. Отклонение результатов расчётов от результатов измерений свидетельствует:

Либо о неправильности применённых математических методов;

Либо о неверности принятой физической модели;

Либо о неверности процедуры измерений.

Выяснение источников ошибок требует большого искусства и высокой квалификации исследователя.

Бывает, что при построении математической модели некоторые её характеристики или связи между параметрами остаются неопределёнными вследствие ограниченности наших знаний о физических свойствах объекта. К примеру: иногда оказывается, что число уравнений, описывающих свойства объекта и связи между объектами, меньше числа параметров (физических величин), характеризующих объект. В этих случаях приходится вводить дополнительные уравнения, характеризующие объект и его свойства, иногда даже пытаются угадать эти свойства, для того, чтобы задача была решена, а результаты соответствовали результатам опытов в пределах заданной погрешности. Подобного образа задачи называются обратными.

Проблема достоверности наших представлений об окружающем мире, ᴛ.ᴇ. проблема соответствия модели объекта и реального объекта͵ является ключевой проблемой в теории познания. Сегодня общепринято, что критерием истинности наших знаний является опыт. Модель адекватна объекту, в случае если результаты теоретических исследований (расчёт) совпадают с результатами опыта (измерений) в пределах погрешности последнего.

Погрешности имеют место не только при измерениях, но и при теоретическом моделировании. Для теоретических моделœей, в соответствии с природой возникновения, будем различать:

Погрешности, возникающие при разработке физической модели;

Погрешности, возникающие при составлении математической модели;

Погрешности, возникающие при анализе математической модели;

Погрешности, связанные с конечным числом разрядов чисел при вычислениях.

В последнем случае, к примеру, число π в рамках символической записи как отношение длины окружности к диаметру представляет собой точное число, но попытка записать его в численном виде (π=3,14159265…) вызывает погрешность, связанную с конечным числом разрядов.

Перечисленные погрешности возникают всœегда. Избежать их невозможно, и их называются методическими . При измерениях методические погрешности проявляют себя как систематические.

Пример : погрешности физической и математической модели маятника, возникающие при измерении периода колебаний маятника в виде тела, подвешенного на нити.

Физическая модель маятника :

Нить – невесома и нерастяжима;

Тело – материальная точка;

Трение отсутствует;

Тело совершает плоское движение;

Гравитационное поле – однородное (ᴛ.ᴇ. g =const во всœех точках пространства, в которых находится тело);

Влияние других тел и полей на движение тела отсутствует.

Очевидно, что реальное тело не должна быть материальной точкой, оно имеет объём и форму, в процессе движения или со временем тело деформируется. Вместе с тем, нить имеет массу, она обладает упругостью и также деформируется. На движение маятника влияет движение точки подвеса, обусловленное действием вибраций, всœегда имеющих место. Также на движение маятника влияет сопротивление воздуха, трение в нити и способ ее крепления, внешние магнитное и электрическое поля, неоднородность гравитационного поля Земли и даже влияние гравитационного поля Луны, Солнца и окружающих тел.

Перечисленные факторы, в принципе, бывают учтены, однако сделать это достаточно трудно. Для этого потребуется привлечь почти всœе разделы физики. В конечном счете, учет этих факторов значительно усложнит физическую модель маятника и ее анализ. Не учет перечисленных, а также множества других, не упомянутых здесь факторов, существенно упрощает анализ, но приводит к погрешностям исследования.

Математическая модель маятника :

в рамках выбранной простейшей физической модели математическая модель маятника – дифференциальное уравнение движения маятника – имеет следующий вид:

, (1), где L – длина нити; φ – отклонение тела от положения равновесия.

При φ<<1 обычно считают, что sin φʼʼφ, и тогда уравнение движения записывается:.(2)

Это – линœейное дифференциальное уравнение, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ должна быть решено точно. Данноерешение имеет вид , где . Отсюда следует, что период колебаний маятника Т 0 =2p/w 0 не зависит от амплитуды φ 0 . При этом, это решение нельзя считать точным решением задачи о колебаниях маятника, представленного простейшей физической моделью, поскольку исходное уравнение (1) было другим.

Можно уточнить решение. В случае если разложить sin φ в ряд и учесть хотя бы первые два члена разложения, ᴛ.ᴇ. считать, что sinφʼʼφ+φ 3 /6, то решение дифференциального уравнения существенно усложнится. Приближенно его можно записать в виде , где . Отсюда следует, что в данном приближении период колебаний маятника Т =2p/w зависит от амплитуды колебаний по параболическому закону.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, погрешность математической модели (уравнение (2)), связанная с заменой sin φ на φ, приводит к погрешности результата расчета периода колебаний маятника. Оценка этой погрешности должна быть получена из решения задачи во втором приближении.

Проблема построения и анализа математической модели объекта исследования с заданной точностью, а также оценка погрешности расчётов в ряде случаев очень сложна. Требуется высокая математическая культура исследователя, необходим тщательный математический анализ и самой модели, и применяемых методов решения.

К примеру, не имеет смысла требование решения уравнения (1) с точностью, существенно превышающей точность построения физической модели. В частности, в предыдущем примере нет смысла делать замену sinφʼʼφ+φ 3 /6 вместо sinφʼʼφ, в случае если нить заметно деформируется или сопротивление воздуха велико.

Применение ЭВМ значительно увеличило возможности построения и исследования математических моделœей в технике, однако не следует думать, что совершенное знание математики, численных методов и языков программирования позволит решить любую физическую и прикладную задачу. Дело в том, что даже самые изящные и точные методы расчетов не могут исправить ошибки, допущенные при построении физической модели. Действительно, в случае если длина L не постоянна, или если размеры тела сопоставимы с длиной нити, или трение велико и колебания маятника быстро затухают, то даже абсолютно точное решение уравнения (1) не позволит получить точное решение задачи о колебаниях маятника.

Общая характеристика понятия “измерение” (сведения из метрологии)

В метрологии определœение понятия “измерение” даёт ГОСТ 16.263-70.

Измерение – научно обоснованный опыт для получения количественной информации с требуемой или возможной точностью о параметрах объекта измерения.

Измерение включает в себя следующие понятия:

Объект измерения;

Цель измерения;

Условия измерения (совокупность влияющих величин, описывающих состояние окружающей среды и объектов);

Метод измерения, ᴛ.ᴇ. совокупность приёмов использования принципов и средств измерений (принцип измерения – совокупность физических явлений, положенных в основу измерения);

Методика измерения, ᴛ.ᴇ. установленная совокупность операций и правил, выполнение которых обеспечивает получение необходимых результатов в соответствии с данным методом.

Средства измерения:

▪ измерительные преобразователи,

▪ измерительные приборы,

▪ измерительные установки,

▪ измерительные системы,

▪ измерительно-информационные системы;

Результаты измерений;

Погрешность измерений;

Понятия, характеризующие качество измерений:

▪ достоверность (характеризуется доверительной вероятностью, ᴛ.ᴇ. вероятностью того, что истинное значение измеряемой величины находится в указанных пределах);

▪ правильность (характеризуется значением систематической погрешности);

▪ сходимость (близость друг к другу результатов измерений одной и той же величины, выполняемых повторно одними и теми же методами и средствами и в одних и тех же условиях; отражает влияние случайных погрешностей на результат);

▪ воспроизводимость (близость друг к другу результатов измерений одной и той же величины, выполняемых в разных местах, разными методами и средствами, но приведенных к одним и тем же условиям).

Погрешности теоретических моделей - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Погрешности теоретических моделей" 2017, 2018.

Построение любой математической модели и ее реализация связаны с упрощением исходного объекта или явления и внесением погрешностей. Эти погрешности называются погрешностями модели . Погрешность модели является неустранимой погрешностью. При переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, которые носят название погрешностей метода . Наиболее типичные погрешности метода - это погрешность дискретизации и погрешность усечения (обрыва). При реализации численного метода на ЭВМ возникают погрешности округления .

Остановимся подробней на погрешностях метода и вычислительных погрешностях. В диапазоне пространственно-временных промежутков, в которых функционируют электротехнические устройства, пространство и время можно считать непрерывными субстанциями. Аналитические зависимости электрических величин как функции пространства (линии, площади или объема) и времени обладают этой непрерывностью за исключением точек скачков и разрывов. При этом для любой точки пространства или любого момента времени (в рамках задачи) известно значение данной величины - тока, напряжения, индукции и т. д. Численные же методы дают возможность найти зависимости между величинами дискретно, т.е. в отдельных точках, и непосредственные результаты расчетов могут быть представлены только в табличном виде. Шаг по аргументу, например, времени t, с которым заполняется таблица, называется шагом дискретизации h . Точки аргумента, в которых известны значения функций, называются узлами. Характер же изменения функции между узлами и ее промежуточные значения неизвестны. Чем больше шаг дискретизации, тем выше погрешность численного решения. Точность же решения уравнения при наличии аналитической зависимости от шага не зависит. В основном погрешность дискретизации связана с тем, что для построения численных методов используются приемы, связанные с заменой производных функций конечными разностями . При стремлении шага h к нулю погрешность дискретизации тоже стремится к нулю. Второй погрешностью метода является погрешность усечения (обрыва). Эта погрешность связана с тем, что многие функции, входящие в математическое описание модели, представляются в виде усеченных бесконечных степенных рядов аргумента. Это и дает ошибку усечения (обрыва). Например, sin(x) можно представить в виде степенного ряда

При сохранении двух членов ряда будем иметь усеченную формулу для вычисления синуса: .

Погрешность усечения при выводе формул численного интегрирования рассмотрена в главе 4.

Следующим видом погрешности является погрешность округления, связанная с приближенным представлениемвещественных чисел в ЭВМ. Погрешность округления есть вычислительная погрешность.

В отличие от целых чисел, которые в ЭВМ представляются точно , действительные числа представляются в ЭВМ приближенно , с определенной точностью. Это связано со способом представления действительных чисел в ЭВМ. Рассмотрим вопрос более подробно на примере представления действительных чисел в Turbo Pascal 7.0 .

Действительные числа в ЭВМ представляются в показательной форме:

где М - мантисса числа; r - основание системы счисления; p - целое число (положительное, отрицательное или нуль) - порядок. Если , то число называют нормализованным. Примеры записи нормализованных чисел в показательной форме: , и т. д.

Точность числа при таком представлении зависит от количества знаков в мантиссе. Возьмем стандартный тип Паскаля REAL. Под число этого типа в памяти ЭВМ выделяется 6 байт. Один байт равен 8 битам или двоичным разрядам, всего 6х8=48 двоичных разрядов. При этом один разряд отдан под знак числа, 8 - под порядок, 39 - под мантиссу, что соответствует 11 12 значащим десятичным цифрам. Это означает, что числа, отличающиеся в 13-м десятичном знаке, для ЭВМ будут равными. Для многих технических задач данной точности представления чисел бывает недостаточно, и в Турбо Паскале есть тип EXTENDED, который обеспечивает 19 20 десятичных знаков в мантиссе.

Как говорилось выше, погрешность дискретизации уменьшается с уменьшением шага дискретизации h. С другой стороны, при расчете величины шага h c его уменьшением приходится вычитать все более близкие числа. Например, если в ЭВМ действительные числа представляются с 5 значащими цифрами, то если , а , шаг будет равен h = t 2 - t 1 = . Количество значащих цифр сократилось в 5 раз! Следовательно, вычислительные алгоритмы, в которых приходится вычитать близкие по величине числа, могут привести к потере точности решения. В связи с тем, что действия погрешности дискретизации и округления носят противоположный характер, существует оптимальный шаг дискретизации, при котором суммарная погрешность будет минимальна (рис.1.6). Величину оптимального шага можно определить только в условиях конкретной задачи и типа ЭВМ.

Мы рассмотрели следующие погрешности вычислительного эксперимента:

1) неустранимые - погрешности модели;

2) дискретизации, обрыва (усечения) - погрешности метода;

Какая из погрешностей преобладает, можно ответить только в конкретном случае. Если объект еще плохо изучен, то погрешности модели будут играть наибольшую роль и т. д. На практике следует стремиться к тому, чтобы все погрешности имели одинаковый порядок.

При математическом моделировании приходится сталкиваться еще с рядом сложных проблем. Главные из них - устойчивость численного метода и плохая обусловленность уравнений, входящих в математическую модель, которые тесно взаимосвязаны. Под устойчивостью численного метода понимают непрерывную зависимость решения от входных данных, равномерную относительно числа уравнений, составляющих дискретную моделью. Непрерывная зависимость от входных данных обозначает, что погрешность результата пропорциональна погрешности входных данных в диапазоне их изменения. Различают устойчивость коэффициентную, разностных схем, по начальным данным и т. д. .

Плохо обусловленной (или слабо устойчивой) считается задача, при решении которой погрешности, которые всегда присутствуют в численных методах, приводят к существенно другому результату или к аварийному завершению задачи.

Приведем наглядный пример плохой обусловленности на примере системы из двух линейных уравнений.

.

Её решение будет Уменьшим величину коэффициента при х 2 во втором уравнении на 0.1% (998 вместо 999). Решение новой системы уравнений дает результат Погрешность в коэффициенте в 0.1% привела к погрешности результата более чем в 50000%! Результаты вычислительного эксперимента, проведенного на математической модели, в которой есть уравнения с такими коэффициентами, будут ошибочными.

Исходя из сказанного выше, реализующий численные методы вычислительный алгоритм должен бытьустойчивым к накоплению погрешностей и легко реализуемым на ЭВМ.

Вычислительный алгоритм также должен быть еще рационально построен , т.е. должен приводить к результату за минимально возможное число шагов при минимальном использовании памяти ЭВМ. В качестве примера приведем алгоритм вычисления полинома:

по схеме Горнера.

Информационная коррекция переменных систематических погрешностей средств измерений и измерительных информационных систем

Рецензент: Туз Ю.М.
директор НИИ АЭИ, д.т.н., проф., лауреат Государственной премии Украины в области науки и техники

Вступление

Требования к точности, правильности и сходимости средств измерений постоянно возрастают. Повышение требований обычно проводилось путем перехода от используемого к новому физическому принципу измерения, который и обеспечивал более высокие качества измерений. Одновременно совершенствовались методика и техника проведения измерений, ужесточались требования к комплексу нормальных (стандартных) условий, сопровождающих процесс измерений.

Любые измерительные прибор, система, канал «реагируют» не только на измеряемую величину, но и на внешнюю среду, т.к. неизбежно связаны с нею.

Хорошей иллюстрацией этого теоретического тезиса может быть влияние приливных волн, вызванных Луной в земной коре, на изменение энергии заряженных частиц, полученных на большом кольцевом ускорителе в Центре европейских ядерных исследований. Приливная волна деформирует 27-километровое (2,7·10 7 мм) кольцо ускорителя и изменяет длину пробега частиц по кольцу приблизительно на 1 мм (!). Это приводит к изменению энергии ускоренной частицы почти на десять миллионов электронвольт. Указанные изменения очень малы, но превышают возможную погрешность измерений примерно в десять раз и уже привели к серьезной ошибке в измерении массы бозона.

Постановка проблемы

Метрологическое обеспечение радиоэлектронных измерений может быть охарактеризовано следующей типичной проблематикой . Использование теоретических методов анализа влияния факторов внешней среды на погрешности средств измерений затруднительно. Характер влияния сложен, нестабилен, трудно интерпретируем с позиций логически-профессионального анализа специалистом; изменчив при переходе от экземпляра к экземпляру одного и того же типа средств измерений .

Отмечается методологическая сложность получения зависимостей неизвестного вида от нескольких переменных и то, что «...возможности исследования зависимостей погрешности от факторов внешней среды весьма ограничены и мало достоверны, особенно в отношении совместных влияний факторов и динамических изменений их значений» .

В результате приведенных причин и значительного разнообразия их проявления делается вывод, что для группы средств измерений одного типа наиболее адекватным описанием погрешностей средств измерений от влияющих факторов внешней среды следует признать зону неопределенности, границы которой определяются крайними зависимостями экземпляров .

Указанные трудности в решении проблемы уменьшения погрешностей средств измерений есть следствие системных свойств этих средств: эмергентности, целостности, неопределенности, сложности, стохастичности и др. . Попытки теоретического описания на уровне номографических наук в рассматриваемых ситуациях часто не эффективны. Необходим экспериментально-статистический подход, т. к. он позволяет провести идиографическое описание закономерности конкретных явлений в детальных условиях времени и места .

Как в радиоэлектронных измерениях , так и в обеспечении точности оценивания результатов количественного химического анализа отмечается важная особенность погрешностей: систематические погрешности результата для большинства средств измерений существенны в том смысле, что они превышают случайную, и погрешность данного экземпляра средства измерения в каждой точке факторного пространства определяется, в основном, постоянной величиной.

Для дальнейшего повышения качества проводимых измерений необходимо использовать не только физические – конструкторские, технологические, эксплуатационные – возможности, но и информационные. Они заключаются в реализации системного подхода в получении информации о всех видах погрешностей: инструментальных, методических, дополнительных, систематических, прогрессирующих (дрейфовых), модельных и возможно др. Имея такую информацию в виде многофакторной математической модели и зная значения факторов (условий), сопровождающих процесс измерения, можно получить информацию о приведенных погрешностях и, следовательно, более точно знать измеряемую величину.

Требования к методологии математического моделирования систематических погрешностей средств измерений

Необходимо разработать методику многофакторного математического моделирования закономерно изменяющихся систематических погрешностей с учетом следующих требований.

1. Системный подход к описанию систематических погрешностей с учетом множества факторов и, если необходимо, множества критериев качества средства измерения.
2. Прикладной уровень получения математических моделей, когда их структура исследователю не известна.
3. Эффективность (в статистическом смысле) получения полезной информации из исходных данных и отражение ее в математических моделях.
4. Возможность доступной и удобной содержательной интерпретации полученных моделей в предметной области.
5. Эффективность использования математических моделей в предметной области по сравнению с затратами ресурсов на их получение.

Основные этапы получения математических моделей

Рассмотрим основные этапы получения многофакторных математических моделей, соответствующих вышеприведенным требованиям.

Выбор плана многофакторного эксперимента, обеспечивающего необходимые свойства получаемых математических моделей

В рассматриваемом (метрологическом) классе проводимых экспериментальных исследований возможно использование полного и дробного факторного эксперимента. Под определяемой математической моделью будем понимать линейную относительно параметров и нелинейную в общем случае относительно факторов модель произвольно высокой, но конечной сложности. В расширенную матрицу эффектов полного факторного эксперимента будет входить столбец фиктивного фактора X 0 = 1, столбцы всех главных эффектов и всех возможных взаимодействий главных эффектов. Если эффекты факторов и взаимодействий факторов выразить в виде системы ортогональных нормированных контрастов, то матрица дисперсий-ковариаций примет вид:

где X – матрица эффектов полного факторного эксперимента;
σ y 2 – дисперсия воспроизводимости результатов опытов;
N – число опытов в плане эксперимента;
Е – единичная матрица.

Математическая модель, полученная по схеме полного факторного эксперимента, соответствует многим замечательным свойствам: коэффициенты модели ортогональны друг другу и в статистическом смысле независимы; максимально устойчивы (cond = 1); каждый коэффициент несет семантическую информацию о влиянии соответствующего эффекта на моделируемый критерий качества; план эксперимента соответствует критериям D -, A -, E -, G -оптимальности, а также критерию пропорциональности частот уровней факторов; математическая модель адекватна в точках аппроксимации поверхности отклика . Будем считать такую модель истинной и «наилучшей».

В тех случаях, когда использование полного факторного эксперимента невозможно по причине большого числа опытов, следует рекомендовать применять многофакторные регулярные (желательно равномерные) планы экспериментов. При правильном выборе числа необходимых опытов их свойства максимально близки к приведенным свойствам полного факторного эксперимента .

Получение структуры многофакторной математической модели

Структуру получаемой многофакторной математической модели, в общем случае не известной исследователю, необходимо определять, исходя из возможного множества эффектов, соответствующих множеству эффектов схемы полного факторного эксперимента. Она задается выражением :

где X 1 ,..., X k – факторы искомой математической модели;

s 1 ,..., s k – число уровней факторов X 1 ,..., X k ;

k – общее число факторов;

N п – число опытов полного факторного эксперимента, равное числу структурных элементов его схемы.

Поиск необходимых эффектов – главных и взаимодействий – в виде ортогональных контрастов для искомой модели осуществляется как многократная статистическая проверка гипотез о статистической значимости эффектов. В модель вводят статистически значимые эффекты.

Выбор числа необходимых опытов для дробного факторного эксперимента

Обычно исследователю известна (приближенно) информация о предполагаемой сложности влияния факторов на моделируемый критерий качества. Для каждого фактора выбирается число уровней его варьирования, которое должно быть на 1 больше максимальной степени полинома, необходимой для адекватного описания этим фактором поверхности отклика. Необходимое число экспериментов будет :

где s i – число уровней фактора X i ; 1 ≤ i ≤ k .

Коэффициент 1,5 выбирается для случая, когда число необходимых экспериментов значительно (порядка 50...64 и более). При меньшем необходимом числе экспериментов следует выбирать коэффициент 2.

Выбор структуры многофакторной математической модели

Для выбора структуры получаемой математической модели необходимо использовать разработанный алгоритм . В алгоритме реализована последовательная схема выделения необходимой структуры по результатам спланированного многофакторного эксперимента.

Обработка результатов экспериментов

Для комплексной обработки результатов экспериментов и получения необходимой информации для интерпретации результатов в предметной области разработано программное средство «Планирование, регрессия и анализ моделей» (ПС ПРИАМ) . Разработчик – лаборатория экспериментально-статистических методов кафедры технологии машиностроения Национального технического университета Украины «Киевский политехнический институт». Оценка качества получаемых математических моделей включает следующие критерии:

• получение информативного подмножества главных эффектов и взаимодействий факторов для принятия в качестве структуры искомой многофакторной математической модели;
• обеспечение максимально высокой теоретической эффективности (вплоть до 100%) извлечения полезной информации из исходных данных;
• проверка на статистическую значимость потенциальной математической модели;
• проверки различных предпосылок множественного регрессионного анализа;
• проверка на адекватность полученной модели;
• проверка на информативность, т.е. присутствие в математической модели полезной информации и ее статистической значимости;
• проверка на устойчивость коэффициентов математической модели;
• проверка фактической эффективности извлечения полезной информации из исходных данных;
• оценка семантичности (информационной) по полученным коэффициентам математической модели;
• проверка свойств остатков;
• общая оценка свойств полученной математической модели и возможности ее использования для достижения поставленной цели.

Интерпретация полученных результатов

Осуществляется специалистом (или специалистами), хорошо понимающими как формальные результаты в полученных моделях, так и те прикладные цели, для достижения которых должны быть использованы модели.

Математический метод получения полезной информации о систематических погрешностях, сопровождающих процесс измерения физической величины, и средство измерения создают надсистему со взаимодействием (иначе эмергентностью) между собой. Эффект взаимодействия – более высокая точность измеряемой величины – принципиально нельзя получить только за счет отдельных подсистем. Это следует из структуры математической модели Ŷ (ŷ 1 ,..., ŷ p) = f j (СИ, ММ) для эксперимента 2 2 //4 (отсутствие подсистемы задается «–1», а присутствие «1») указанных подсистем:

где Ŷ (ŷ 1 ,..., ŷ p) – вектор эффективности функционирования средства измерения, 1 ≤ j ≤ p ;

1 – символ среднего значения результата (условное начало отсчета);

СИ – результат измерения, полученный только от средства измерения;

ММ – информация, полученная по многофакторной математической модели о систематических погрешностях используемого средства измерения при знании внутренних и внешних относительно его условий проведения замеров;

СИ · ММ – эффект взаимодействия (эмергентность) средства измерения и математической модели при условии их совместного использования.

Повышение точности измерения достигается за счет получения большего объема информации об условиях измерения и свойствах средства измерения во взаимодействии с внутренней и внешней относительно его средой.

Сочетание физических и информационных принципов на практике означает интеллектуализацию известных систем, в частности, создание интеллектуальных средств измерений. Объединение физических и информационных принципов в единую интегральную систему позволяет принципиально по-новому решать старые проблемы.

Пример повышения точности измерения цифровых весов

Рассмотрим возможности предложенного подхода на примере повышения точности цифровых весов с диапазоном взвешивания 0...100 кгс. Датчик весов емкостного типа с автономным питанием от переносного источника напряжения. Весы предназначены для эксплуатации в диапазоне температуры окружающей среды (воздуха) 0...60°С. Напряжение от автономного источника напряжения в процессе эксплуатации весов может изменяться в диапазоне 12,3...11,7 В при расчетном (номинальном) значении 12 В.

Предварительное исследование цифровых весов показало, что изменения температуры окружающей среды и питаемого напряжения в вышеприведенных диапазонах сравнительно мало влияют на показания емкостного датчика и, следовательно, на результаты взвешивания. Однако стабилизировать эти внешние и внутренние условия с необходимой точностью и поддерживать их в процессе функционирования весов не представлялось возможным ввиду того, что весы должны эксплуатироваться не в стационарных (лабораторных) условиях, а на борту перемещающегося объекта.

Исследование точности весов без учета влияния изменений температуры и питаемого напряжения показали, что средняя абсолютная погрешность аппроксимации составляет 0,16%, а среднеквадратичная погрешность остатка (в единицах измерения выходной величины взвешивания) равна 53,92.

Для получения многофакторной математической модели были приняты следующие обозначения факторов и значения их уровней.

X 1 – гистерезис. Уровни: 0 (нагрузка); 1 (разгрузка). Фактор качественный.

X 2 – температура окружающей среды. Уровни: 0; 22; 60°C.

X 4 – измеряемый вес. Уровни: 0; 20; 40; 60; 80; 100 кгс.

Учитывая принятые уровни варьирования факторов и сравнительно не трудоемкий объем испытаний было решено провести полный факторный эксперимент, т.е. 2 · 3 2 · 6//108. Исходные данные испытаний были предоставлены проф. П.В. Новицким. Каждый опыт был повторен только один раз, что нельзя признать хорошим решением. Желательно повторение каждого опыта два раза. Предварительный анализ исходных данных показал, что они со значительной вероятностью содержат грубые ошибки. Эти опыты были повторены и их результаты были исправлены.

Натуральные значения уровней варьирования факторов были преобразованы в ортогональные контрасты, иначе в систему ортогональных полиномов Чебышева.

С использованием системы ортогональных контрастов структура полного факторного эксперимента будет иметь следующий вид:

(1 + x 1) (1 + x 2 + z 2) (1 + x 3 + z 3) (1 + x 4 + z 4 + u 4 + v 4 + ω 4) → N 108

где x 1 ,..., x 4 ; z 2 ,..., z 4 ; u 4 , v 4 , ω 4 – соответственно линейные, квадратичные, кубический, четвертой и пятой степени контрасты факторов X 1 ,..., X 4 ;
N 108 – число структурных элементов для схемы полного факторного эксперимента.

Все эффекты (главные и взаимодействия) были нормированы

где x iu (p) – значение p -го ортогонального контраста i -го фактора для u-й строки матрицы планирования, 1 ≤ u ≤ 108, 1 ≤ p ≤ s i – 1; 1 ≤ i ≤ 4.

Предварительный расчет математической модели показал, что в качестве оценки дисперсии воспроизводимости может быть выбрана (приближенно) величина 20,1.

Число степеней свободы (условно) принято V 2 = 108.

Дисперсия была использована для определения стандартной ошибки коэффициентов уравнения регрессии.

Вычисление математической модели и всех ее критериев качества было проведено с использованием ПС ПРИАМ. Полученная математическая модель имеет вид

x 1 = 2 (X 1 – 0,5);

x 2 = 0,0306122 (X 2 – 27,3333);

z 2 = 1,96006 (x 2 2 – 0,237337x 2 – 0,575594);

x 3 = 3.33333 (X 3 – 12);

z 3 = 1,5 (x 2 3 – 0,666667);

x 4 = 0,02 (X 4 – 50);

z 4 = 1,875 (x 2 4 – 0,466667);

u 4 = 3,72024 (x 3 4 – 0,808x 4);

v 4 = 7,59549 (x 4 4 – 1,08571x 2 4 + 0,1296).

Таблица 1

Критерии качества полученной математической модели

Таблица 2

Статистические характеристики коэффициентов регрессии

b 0 = 28968,9
Уровень значимости для t -критерия – 0,05
Для степеней свободы V 1 = 108. Табличное значение t -критерия – 1,9821

В табл. 1 приведена распечатка критериев качества полученной многофакторной математической модели. Модель адекватна. Доля рассеивания, объясняемая моделью, весьма высока, т. к. модель высокоточная, изменчивость функции отклика велика, а ее случайная изменчивость сравнительно мала. Коэффициент множественной корреляции R весьма близок к 1 и устойчив, т. к. будучи скорректированным с учетом степеней свободы, практически не меняется. Статистическая значимость R весьма велика, т.е. модель очень информативна. Высокая информативность модели подтверждается также значением критерия Бокса и Веца. Коэффициенты модели максимально устойчивы: число обусловленности cond = 1. Полученная модель семантична в информационном смысле, т. к. все ее коэффициенты ортонормированны: они статистически независимы и могут сравниваться по абсолютной величине друг с другом. Знак коэффициента показывает характер влияния, а его абсолютная величина – силу влияния. Полученная модель наиболее удобна для интерпретации в предметной области.

Учитывая семантичные свойства полученной математической модели и доли участия каждого из эффектов модели в общей доле рассеивания, объясняемой моделью, можно провести содержательный информационный анализ формирования результата измерения исследуемых цифровых весов.

Превалирующая доля участия в результатах моделирования, равная 0,999557, создается линейным главным эффектом x 4 (с коэффициентом b 1 = –3715,13), т.е. измеряемым весом (табл. 2). Нелинейность z 4 (с коэффициентом b 5 = –19,07) сравнительно мала (3,16·10 –5) и ее учет в модели повышает точность измерения. Линейный эффект x 4 сравнительно слабо (3,19·10 –6) взаимодействует с квадратичным эффектом z 2 температуры окружающей среды: взаимодействие z 2 x 4 (b 8 = –9,27). Следовательно, математическая модель только от фактора измеряемый вес X 4 должна включать и эффект влияния температуры окружающей среды

ŷ 1 = 28968,90 – 3715,13x 4 – 19,07z 4 – 9,27z 2 x 4 ,

фактор которого X 2 является неуправляемым.

Напряжение питания изменяет результаты взвешивания в виде линейного эффекта x 3 (b 2 = 45,21) и квадратичного эффекта z 3 (b 6 = –19,66). Их суммарная доля участия составляет 2,41·10 –4 .

Температура окружающей среды влияет в виде квадратичного z 2 (b 3 = –37,52) и линейного x 2 (b 4 = 23,17) эффектов с суммарной долей участия 1,60·10 –4 .

Температура окружающей среды и напряжение питания образуют парное взаимодействие x 2 z 3 (b 7 = –9,01) c долей участия 3,63·10 –6 .

Доказательность статистической значимости двух последних эффектов x 1 x 2 и z 2 x 3 не может быть обоснована, т. к. они существенно меньше эффектов x 2 z 3 и z 2 x 4 , а обоснованное значение дисперсии воспроизводимости по результатам повторных опытов в представленных исходных данных, к сожалению, отсутствовало.

В табл. 2 приведены статистические характеристики коэффициентов регрессии. Отметим, что значения коэффициентов регрессии разделены на нормировочные коэффициенты ортогональных контрастов, которые не включены в приведенные формулы ортогональных контрастов. Этим и объясняется то, что при делении значений коэффициентов регрессии на их стандартную ошибку полученные значения t -критерия отличаются от приведенных правильно вычисленных значений этого критерия в табл. 2.

Рис. 1. Гистограмма остатков

На рис. 1 показана гистограмма остатков . Она сравнительно близка к нормальному закону распределения. В табл. 3 представлены численные значения остатков и их проценты отклонений. Временной график остатков (рис. 2) указывает на случайный характер изменения остатков от времени (последовательности) проведения опытов. Дальнейшее повышение точности модели не возможно. Анализ зависимости остатков от ŷ (расчетного значения) показывает, что наибольшие разбросы остатков наблюдаются для X 4 = 0 кгс (y = 32581...32730) и X 4 = 100 кгс (y = 25124...25309). Наименьший разброс при X 4 = 40 кгс. Однако статистическая значимость такого заключения требует знания обоснованного значения дисперсии воспроизводимости.

Рис. 2. Временной график остатков

Учет в математической модели разнообразных систематических погрешностей, нелинейностей, взаимодействий неуправляемых факторов позволил повысить точность средства измерения по критерию средней абсолютной погрешности аппроксимации до 0,012% – в 13,3 раза, а по критерию среднеквадратичной погрешности аппроксимации до 4,80 (табл. 1) – в 11,2 раза.

План эксперимента 2 2 //4 для средней абсолютной погрешности аппроксимации в % и полученные результаты при использованиии только средства измерения и средства измерения с математической моделью систематической погрешностей представлен в табл. 4.

Математическая модель для средней абсолютной погрешности аппроксимации, полученная по эксперименту 2 2 //4, со структурой модели (1) и результатам функционирования средства измерения без математической модели и с ее использованием, имеет вид

ŷ = 0,043 + 0,043x 1 ...0,037x 2 ...0,037x 1 x 2

где x 1 – ортогональный контраст фактора X 1 (СИ) – средство измерения;

x 2 – ортогональный контраст фактора X 2 (ММ) – математическая модель систематических погрешностей используемого средства измерения;

x 1 x 2 – взаимодействие факторов X 1 (СИ) и X 2 (ММ).

Таблица 3

Остатки и их проценты отклонений

1 – Номер опыта; 2 – Отклик по эксперименту; 3 – Отклик по модели; 4 – Остаток;
5 – Процент отклонения; 6 – Номер опыта; 7 – Отклик по эксперименту;
8 – Отклик по модели; 9 – Остаток; 10 – Процент отклонения

Таблица 4

План эксперимента 2 2 //4

Анализ коэффициентов модели показывает, что фактор X 2 (ММ) уменьшает систематическую погрешность не только в виде главного эффекта x 2 (коэффициент b 2 = –0,037), но и за счет взаимодействия (эмергентности) факторов X 1 (СИ) · X 2 (ММ) (коэффициент b 12 = –0,037).

Аналогичную модель можно получить и для критерия среднеквадратичной погрешности аппроксимации.

Для фактической реализации полученной модели (2) необходимо измерить и использовать информацию о температуре окружающей среды и напряжении питания с помощью датчиков и провести расчет результата с применением микропроцессора.

Результаты математического моделирования шестикомпонентных тензометрических измерительных систем

В рассмотрено математическое моделирование шестикомпонентных тензометрических измерительных систем. Предложенный метод был внедрен на Киевском механическом заводе (ныне Авиационный научно-технический комплекс им. О.К. Антонова). Впервые в практике проведения аналогичных измерений этот метод в значительной степени позволил исключить последствия физических несовершенств измерительных систем, проявляющихся в виде взаимодействия между каналами, влияния других каналов на рассматриваемый канал, нелинейностей и изучить структурные взаимосвязи различных каналов.

Использование метода математического моделирования в реальных условиях предприятия показало, что время проведения опытов сокращается в 10...15 раз; существенно (до 60 раз) повышается эффективность обработки измерительной информации; в 2...3 раза сокращается количество исполнителей, занятых в измерительных экспериментах.

Итоговый вывод о целесообразности использования изложенного подхода зависит от экономической эффективности следующих сравниваемых вариантов.

Высокоточного средства измерения и, следовательно, более дорогого, используемого в нормированных (стандартных) условиях, которые необходимо создать и поддерживать.

Средства измерения менее высокой точности, используемого в не нормированных (не стандартных) условиях с применением полученной математической модели.

Основные выводы

1) Успешно реализованный системный подход в математическом моделировании средства измерения позволил учесть влияние факторов внешней – температура окружающей среды – и внутренней среды – напряжение питания. Эффективность извлечения полезной информации из исходных данных составила 100%.

2) В полученной многофакторной математической модели, структура которой априори исследователю не была известна, в удобной для интерпретации в предметной области форме раскрыты нелинейность средства измерения и системное влияние факторов (эмергентность) внешней и внутренней среды. В реальных условиях эксплуатации стабилизация этих факторов с необходимой точностью не представляется возможной.

3) Учет математической модели систематических погрешностей позволил повысить точность измерений по критерию средней абсолютной погрешности в 13,3 раза и по критерию среднеквадратичной погрешности в 11,2 раза.

Наши предложения

Лаборатория экспериментально-статистических методов и исследований готова предоставить алгоритмическое, программное обеспечение для получения многофакторных математических моделей, их анализа и интерпретации и передать накопленный опыт для использования при решении конкретных производственных и научных задач.

Мы готовы решить Ваши проблемы в указанных и многих других областях путем использования созданных за многие годы алгоритмов, программного обеспечения, ноу-хау; учебы и передачи опыта Вашим специалистам.

Литература:

1. Рыбаков И.Н. Основы точности и метрологического обеспечения радиоэлектронных измерений. – М.: Изд-во стандартов, 1990. – 180 с.
2. Радченко С.Г. Математическое моделирование технологических процессов в машиностроении.– К.: ЗАО «Укрспецмонтажпроект», 1998. – 274 с.
3. Алимов Ю.И., Шаевич А.Б. Методологические особенности оценивания результатов количественного химического анализа // Журнал аналитической химии. – 1988. – Вып. 10. – Т. XLIII. – С. 1893...1916.
4. Планирование, регрессия и анализ моделей PRIAM (ПРИАМ). SCMC–90; 325, 660, 668 // Каталог. Программные продукты Украины. Catalog. Software of Ukraine. – К.: СП «Текнор». – 1993. – C. 24...27.
5. Зинченко В.П., Радченко С.Г. Метод моделирования многокомпонентных тензометрических измерительных систем. – К.: 1993. – 17 с. (Препр. / АН Украины. Ин-т кибернетики им. В.М.Глушкова; 93...31).

4.3. Математические модели и характеристики погрешностей

В общем случае результаты измерений и их погрешности должны рассматриваться как функции, изменяющиеся во времени случайным образом, т.е. случайные функции, или, как принято говорить в математике, случайные процессы. Поэтому математическое описание результатов и погрешностей измерений (т.е. их математические модели) должно строиться на основе теории случайных процессов . Без этого невозможно решение большого числа практических метрологических задач. Прежде чем перейти к рассмотрению математических моделей погрешностей измерений, кратко изложим основные моменты теории случайных функций.

Случайным процессом X(t) называется процесс (функция), значение которого при любом фиксированном значении t = t Q является случайной величиной X(t 0). Конкретный вид процесса (функции), полученный в результате опыта, называется реализацией. При проведении серии опытов можно получить группу или семейство реализаций случайной функции (рис. 4.5). Семейство реализаций случайного процесса является основным экспериментальным материалом, на основе которого можно получить его характеристики и параметры.

Рис. 4.5. Вид случайных функций

Каждая реализация является неслучайной функцией времени. Семейство реализаций при каком-либо фиксированном значении времени t 0 (см. рис. 4.5) представляет собой случайную величину, называемую сечением случайной функции, соответствующим моменту времени t Q . Следовательно, случайная функция совмещает в себе характерные признаки случайной величины и детерминированной функции. При фиксированном значении аргумента она превращается в случайную величину, а в результате каждого отдельного опыта становится детерминированной функцией.

Наиболее полно случайные процессы описываются законами распределения: одномерным, двумерным и т.д. Однако оперировать с такими, в общем случае многомерными функциями очень сложно, поэтому в инженерных приложениях, каковым является метрология, стараются обойтись характеристиками и параметрами этих законов, которые описывают случайные процессы не полностью, а частично. Характеристики случайных процессов, в отличие от характеристик случайных величин, которые подробно рассмотрены в гл. 6, являются не числами, а функциями. К важнейшим из них относятся математическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием случайной функции X (t )

которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения. Здесь p(x,t) - одномерная плотность распределения случайной величины х в соответствующем сечении случайного процесса X(t).Таким образом, математическое ожидание в данном случае является средней функцией, вокруг которой группируются конкретные реализации.

Дисперсией случайной функции X (t ) называется неслучайная функция

значение которой для каждого момента времени равно дисперсии соответствующего сечения, т.е. дисперсия характеризует разброс реализаций относительно m x (t).

Математическое ожидание случайного процесса и его дисперсия являются весьма важными, но не исчерпывающими характеристиками, так как определяются только одномерным законом распределения. Они не могут характеризовать взаимосвязь между различными сечениями случайного процесса при различных значениях времени t и t". Для этого используется корреляционная функция - неслучайная функция R(t, t") двух аргументов t и t", которая при каждой паре значений аргументов равна ковариации соответствующих сечений случайного процесса:

Корреляционная функция, называемая иногда автокорреляционной, описывает статистическую связь между мгновенными значениями случайной функции, разделенными заданным значением времени т = t"-t. При равенстве аргументов корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса. Она всегда неотрицательна.

На пpaктике часто используется нормированная корреляционная функция

Она обладает следующими свойствами: 1) при равенстве аргументов t и t" r(t,t") = 1; 2) симметрична относительно своих аргументов: r(t,t") = r(t",t); 3) ее возможные значения лежат в диапазоне [-1; 1], т.е. |r(t,t")| < 1. Нормированная корреляционная функция по смыслу аналогична коэффициенту корреляции между случайными величинами, но зависит от двух аргументов и не является постоянной величиной.

Случайные процессы, протекающие во времени однородно, частные реализации которых с постоянной амплитудой колеблются вокруг средней функции, называются стационарными. Количественно свойства стационарных процессов характеризуются следующими условиями.

Математическое ожидание стационарного процесса постоянно, т.е.

m (t) = m x = const. Однако это требование не является существенным, поскольку от случайной функции X(t) всегда можно перейти к центрированной функции, для которой математическое ожидание равно нулю. Отсюда вытекает, что если случайный процесс нестационарен только за счет переменного во времени (по сечениям) математического ожидания, то операцией центрирования его всегда можно свести к стационарному.

Для стационарного случайного процесса Дисперсия по сечениям является постоянной величиной, т.е. D x (t) = D x = const.

Корреляционная функция стационарного процесса зависит не от значения аргументов t и t", а только от промежутка  = t" - t, т.е. R(t,t") = R(). Предыдущее условие является частным случаем данного условия, т.е. D x (t) = R(t,t) = R( = 0) = const.

Таким образом, зависимость автокорреляционной функции только от интервала  является единственным существенным условием стационарности случайного процесса.

Важной характеристикой стационарного случайного процесса является его спектральная плотность S(), которая описывает частотный состав случайного процесса при  > О и выражает среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на единицу полосы частот:

Спектральная плотность стационарного случайного процесса является неотрицательной функцией частоты S()  0. Площадь, заключенная под кривой S(), пропорциональна дисперсии процесса.

Корреляционная функция может быть выражена через спектральную плотность

Стационарные случайные процессы могут обладать или не обладать свойством эргодичности. Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если любая его реализация достаточной продолжительности является как бы "полномочным представителем" всей совокупности реализаций процесса. В таких процессах любая реализация рано или поздно пройдет через любое состояние независимо от того, в каком состоянии находился этот процесс в начальный момент времени.

Для эргодического стационарного случайного процесса его математическое ожидание может быть определено из выражения

Достаточным условием выполнения этого равенства - эргодичности стационарного случайного процесса X(t) по математическому ожиданию - является выполнение условия

Дисперсия эргодического процесса может быть найдена по формуле

Достаточным условием выполнения этого равенства - эргодичности стационарного процесса X(t) по дисперсии - является

, где R Y () - корреляционная функция стационарного случайного процесса Y(t) = 2 .

Корреляционная функция стационарного эргодического случайного процесса может быть определена по формуле

Достаточным условием выполнения последнего равенства - эргодичности стационарного процесса X(t) по корреляционной функции - является

, где R Z () - корреляционная функция стационарного случайного процесса Z (t, ) = X(t) X(t + ).

При построении математической модели погрешности измерений следует учитывать всю информацию о проводимом измерении и его элементах. Модели для измерений, проводимых различными методами и средствами, могут существенно различаться.

В общем случае абсолютную погрешность измерения Д(1) следует представлять в виде суммы нескольких составляющих:

Каждая из них может быть обусловлена действием нескольких различных источников погрешностей и в свою очередь состоять также из некоторого числа составляющих.̊

Систематическая составляющая ̊(t) представляет собой нестационарную случайную функцию, описывающую постоянную или инфра-низкочастотную погрешность, причины возникновения которой могут быть различными. Периоды изменения составляющих систематической погрешности значительно больше времени, необходимого для проведения измерения. Поэтому погрешность \(t ) условно принимается за постоянную и для ее учета применяются математические методы, разработанные для неизменных во времени и от измерения к измерению погрешностей, значения которых неизвестны.

Составляющая ̊(t) является случайной и имеет широкий частотный спектр. Периоды изменения составляющих этой погрешности меньше или сравнимы со временем измерения. Она может быть разделена на две составляющие: ̊ 0в (t) и ̊ 0н (t), которые являются стационарными случайными функциями времени с различными частотными спектрами - высокочастотным и низкочастотным соответственно. Автокорреляционная функция высокочастотной составляющей погрешности затухает в течение времени, значительно меньшего времени измерения. Для низкочастотной составляющей автокорреляционная функция затухает до нуля в течение времени, большего времени отдельного измерения. Такое различие в поведении этих составляющих обуславливает их выделение и применение к ним различных методик обработки.

Составляющая ̊ 0 является центрированной случайной величиной, не зависящей от времени, но изменяющейся от измерения к измерению. Величины ̊ 0в (t) и ̊ 0 могут быть объединены в одну стационарную центрированную функцию ̊(t). Ее автокорреляционная функция затухает на интервале времени, который меньше времени проведения всего измерения, но существенно больше интервала времени, необходимого для одного измерения. В связи с этим математическая модель погрешности измерения может быть записана в виде

Отдельные составляющие этого уравнения могут отсутствовать при моделировании погрешности конкретного измерения. Так, зачастую нет необходимости учитывать высокочастотную составляющую погрешности измерения.

Эффективное использование рассмотренной модели погрешности измерения возможно только при известном частотном спектре ее составляющих. Однако данное условие весьма трудно выполнить на практике, и поэтому часто случайная погрешность измерения описывается не случайной функцией, а представляется еще в более упрощенном виде, а именно в виде случайной величины. При этом для описания погрешностей используются теория вероятностей и математическая статистика. Однако прежде необходимо сделать ряд существенных оговорок:

Применение методов математической статистики к обработке результатов измерений правомочно лишь в предположении о независимости между собой отдельных получаемых отсчетов;

Большинство используемых в метрологии формул теории вероятностей правомерны только для непрерывных распределений, в то время как распределения погрешностей вследствие неизбежного квантования отсчетов, строго говоря, всегда дискретны, т.е. погрешность может принимать лишь счетное множество значений.

Таким образом, условия непрерывности и независимости для результатов измерений и их погрешностей соблюдаются приближенно, а иногда и не соблюдаются. В математике под термином "непрерывная случайная величина" понимается существенно более узкое, ограниченное рядом условий понятие, чем "случайная погрешность" в метрологии.

С учетом этих ограничений процесс появления случайных погрешностей результатов измерений за вычетом систематических и прогрессирующих погрешностей обычно может рассматриваться как центрированный стационарный случайный процесс. Его описание возможно на основе теории статистически независимых случайных величин и стационарных случайных процессов.

При выполнении измерений требуется количественно оценить погрешность. Для такой оценки необходимо знать определенные характеристики и параметры модели погрешности. Их номенклатура зависит от вида модели и требований к оцениваемой погрешности. В метрологии принято различать три группы характеристик и параметров погрешностей. Первая группа - задаваемые в качестве требуемых или допускаемых нормы характеристик погрешности измерений (нормы погрешностей). Вторая группа характеристик - погрешности, приписываемые совокупности выполняемых по определенной методике измерений. Характеристики этих двух групп применяются в основном при массовых технических измерениях и представляют собой вероятностные характеристики погрешности измерений. Третья группа характеристик - статистические оценки погрешностей измерений отражают близость отдельного, экспериментально полученного результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Они используются в случае измерений, проводимых при научных исследованиях и метрологических работах.

В качестве характеристик случайной погрешности используют СКО случайной составляющей погрешности измерений и, если необходимо, ее нормализованную автокорреляционную функцию.

Систематическая составляющая погрешности измерений характеризуется:

СКО неисключенной систематической составляющей погрешности измерений;

Границами, в которых неисключенная систематическая составляющая погрешности измерений находится с заданной вероятностью (в частности, и с вероятностью, равной единице).

Требования к характеристикам погрешности и рекомендации по их выбору приведены в нормативном документе МИ 1317-86 "ГСИ. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров".